単位質量(1kg)の流体が流管にそって位置s=aから位置s=ｂまで移動する間の、この流体の塊のエネルギーの変化を考えます。なお，流れは定常かつ非圧縮流れであると仮定します。
任意の位置sにおける流体のエネルギーを順に考えていきます。
１）運動エネルギー：質量が１kgなので、 
２）位置エネルギー：質量１kgの物体が高さhにあると考えて gh(s)
３）内部エネルギー ：U(s)=（比熱）ｘ（温度）で決まる。a,b間で温度差がなければ同じ値。
すなわち，ある位置sにおける流体の固まり（単位質量）の持つエネルギーは
と表せます。ここまでは質点の物理学と同じですが、流れにおいては、常に周囲に他の流体の塊が存在していることから、もう少し考えなくてはなりません。
1kgの流体の塊がaからbまで動く間に，その前後の流体との間で，（圧力を介して）仕事（エネルギー）が授受されています。
上の図で，面c,dと流管に囲まれる流体の塊（fluid-particle、流体塊）について考えることにします。
このfluid-particleの体積は 
なので、質量は 
となります。
（後でこの質量を１kgに直しますが、今はこのまま話を進めます。）
上流側の境界面cにおいて、 この流体塊（赤の斜線部)には面cを介して，（より上流側の流体から）s軸の正の向き右向きに圧力による力が加わります。下図の矢印は斜線部の流体塊が受ける力を表しています。
その力の大きさは断面cの位置によって決定されて、
。
時間dtの間に，この部分の流体は 
だけ動くので，流体塊は，上流側の流体から
だけの仕事をされることになります。すなわちWc のエネルギーを受け取ります。
このエネルギーの増加分の式を整理すると、 
。
同じように境界面dにおいては 流体塊よりも下流側の流体から圧力による力が加わります。
このときの力は左向き（fluid-particleの移動方向とは逆向き）に働くため、この力に逆らって移動することでfluid-particleはエネルギーを失います。そのエネルギーの大きさは
従って，さしひき
だけのエネルギーが，dtの間にこの流体の塊に与えられます。
ところで定常流れでは
は場所によらず一定となるので，
。よって、
と書けます．この式をテーラー展開近似すると
これが，fluid-particleが時間dtの間に得るエネルギーです。
これを単位質量当たりのエネルギーになおすために、流体塊の質量
で割ると，
（ここで u= ds／dt の関係を使って)
流体塊が a-b間を移動する間に質量1kgの流体塊が得るエネルギーは、これを積分して
のように得られます。
エネルギー保存則より、
（a点での流体塊のエネルギ）＋（a-b間で流体塊が得たエネルギ）＝（b点での流体塊のエネルギ）
が成立している必要があります。よって
すなわち
整理すると
すなわち，sのどの位置であっても，
（１）
これを定常流れのベルヌーイの法則あるいは定常ベルヌーイの式、と呼びます。「定常」を略して単に「ベルヌーイの式」と呼ぶこともしばしばあります。
この式と、ベルヌーイの式がエネルギ保存則であることから、場所aの流体がエネルギーが
を持っていて，場所bの流体がエネルギー
を持っているように誤解する人がいますが、それは事実ではありません。p／ρの項は上に見たように、流体が移動する途中で授受されるエネルギから生じた項です。言い方を変えると、p／ρの項は流体が伝達しているエネルギーであって，流体そのもののエネルギーではないのです。今後、p／ρの項を「圧力の伝達エネルギー」と呼ぶことにします。
流管に沿う２つの断面aとbの間でエネルギーが失われることがなく，流れが定常かつ非圧縮であるなら，
が成り立つ、という関係式が定常ベルヌーイの式です。
もし、流れに沿って温度が変わらないとすると、非圧縮流れではUは一定となるので
（２）
と書けます。流れの問題では温度変化を無視できる場合が多いので、単にベルヌーイの式、という場合にはこちらの式を指すこともあります。
ベルヌーイの式は、単位を変えた形で表現されることがあります。まずは鉛筆を持って、上の式（２）の各項の単位が、”単位質量の流体のエネルギー[
J/kg]” となっていることを確かめてみて下さい。
式（１）の両辺にρをかけると，
この式の各項の単位は[Pa(パスカル)]となります。確認してみてください。これは単位体積の流体が持つのエネルギーの保存を表していることになります。
また，はじめの式をgで割ると
となり，この場合式の各項の単位は長さ（メートル）となりますが、単位質量の流体の持つエネルギという意味に変わりはありません。
このようにエネルギを高さで表すとき、エネルギを”ヘッド”と呼びます。
（速度ヘッド、位置ヘッド、圧力ヘッドなど。）
流管の途中でエネルギーが失われることがあります。流体どうしあるいは壁面と流体との摩擦があると、かならず摩擦熱が生じます。また流れが大きく渦巻くところでは、その渦を維持するためにエネルギーが費やされます。このような流体のエネルギーの減少は、当然ながらベルヌーイの式において考慮しなくてはなりません。
単位質量の流体が、流れている途中で失うエネルギーを「損失」loss と呼びます。損失については、講義「流体力学２」で詳しく学びます。
流管の途中で、外部から流体にエネルギーが与えられる場合もあります。このような場合にもベルヌーイの式で、それを考慮する必要があります。（§2-3で、そのような例を取り扱います）
用語索引
流体力学１目次 LectureNotes 
